Le saviez-vous ? Curiosités mathématiques et histoire du hasard

En juillet 1962, lors d'un tirage de Loto en Angleterre, les boules numérotées 30, 31, 32, 33, 34 et 35 sont extraites consécutivement. Cette suite arithmétique a suscité une indignation massive, les joueurs dénonçant une manipulation frauduleuse. Cependant, l'enquête révéla que l'opérateur avait simplement oublié de mélanger les boules avant le tirage. Bien que la probabilité d'obtenir cette séquence exacte soit de 1 sur 13 983 816, l'événement n'était pas miraculeux mais le résultat d'une défaillance procédurale, rappelant que le hasard n'est pas toujours innocent.

Le 24 mars 1973, lors du tirage du Loto de Bruxelles, une erreur technique fit que le numéro 13 fut omis dans le tiroir mécanique. Les organisateurs, paniqués, décidèrent de rejouer le tirage sans le numéro 13. Pourtant, parmi les 100 000 billets vendus, un seul joueur avait coché ce numéro. Il ne gagna rien — car il n’était pas censé exister. Cette anomalie révéla une faille dans le système de contrôle : le hasard, même mécanique, peut être biaisé par l’humain. Le numéro 13, symbole de malchance, devint ainsi un fantôme statistique, jamais tiré à nouveau dans cette version du jeu.

En 1729, le contrôleur général des finances crée une loterie royale pour amortir les rentes municipales. Le mathématicien Charles-Marie de La Condamine s’aperçoit d’une erreur de calcul majeure : si l’on rachète tous les petits billets d’un lot de rente déprécié, la valeur totale des lots à gagner dépasse de très loin la mise globale. Il s’associe avec le jeune Voltaire et un petit syndicat d’amis. Ensemble, ils raflent légalement des millions de livres, assurant l’indépendance financière de Voltaire pour le restant de ses jours.

Dans une urne de Loto certifiée, chaque boule physique possède la même masse (à un centième de gramme près), la même texture et le même diamètre. Lors du brassage mécanique par air comprimé, la boule 01 n’a aucune conscience de la boule 02. Par conséquent, la combinaison ordonnée [01, 02, 03, 04, 05] possède rigoureusement 1 chance sur 19 068 840 de sortir, très exactement comme [07, 18, 29, 34, 46] ou n’importe quelle autre parmi les 19 millions de possibilités.

Après une dizaine de sorties du noir, les joueurs ont commencé à miser massivement sur le rouge, convaincus que la série devait s’interrompre pour "rééquilibrer" la chance. Plus la série s’allongeait (15, puis 20, puis 25 fois noir), plus les mises augmentaient frénétiquement. La roulette est pourtant tombée 26 fois sur le noir avant de s’arrêter sur le rouge au 27e lancer. Les pertes financières furent colossales.

L’intuition humaine compare spontanément chaque personne à soi-même (ce qui demanderait 253 personnes pour atteindre 50 %). En réalité, il faut comparer chaque individu à tous les autres. Le nombre de paires possibles parmi n personnes est n(n-1)/2. Pour 23 individus, cela représente 253 comparaisons bilatérales ! La probabilité qu’aucune paire ne coïncide chute alors sous la barre des 50 % (exactement 49,27 %).

Créé par décret du président Valéry Giscard d’Estaing pour moderniser l’ancienne Loterie Nationale des gueules cassées, le Loto débute très modestement. Lors du premier tirage le 19 mai 1976, seuls 73 680 bulletins sont validés en région parisienne, rapportant 500 000 francs de recettes. Aucun joueur ne trouve les 6 bons numéros parmi les 49 de l’ancien règlement. Mais quelques mois plus tard, la retransmission télévisée déclenche un véritable phénomène de société dans toute la France.

En théorie des jeux, l’espérance mathématique représente le gain moyen théorique que l’on obtiendrait en répétant une mise un nombre infini de fois. Pour une loterie commerciale légale, le taux de retour aux joueurs (TRJ) est plafonné par le législateur. Sur une grille de 2,20 €, environ 53 % à 58 % des recettes sont allouées aux rangs de gains, le solde finançant le budget de l’État (taxe sur les jeux), les détaillants et les frais d’exploitation.

En France, le Laboratoire de recherche sur la foudre recense environ 100 à 200 personnes foudroyées chaque année sur une population de 68 millions d’habitants. La probabilité annuelle pour un individu moyen d’être touché par la foudre au cours d’une année est ainsi d’environ 1 sur 500 000. Sur une vie humaine entière (80 ans), cette probabilité cumulée est d’environ 1 sur 6 000 à 1 sur 10 000.

Le 13 février 2004, la Française des Jeux (France), Loterías y Apuestas del Estado (Espagne) et Camelot (Royaume-Uni) lancent conjointement EuroMillions à Paris. Lors de ce tirage inaugural, une grille simple coûte 2 euros et le jackpot de 15 millions d’euros est remporté par un joueur français unique avec les numéros 16, 29, 32, 36, 41 et les étoiles 7 et 9. En octobre de la même année, six nouveaux pays rejoignent l’aventure : l’Autriche, la Belgique, l’Irlande, le Luxembourg, le Portugal et la Suisse.

À chaque lancer, la probabilité d’obtenir pile est de 1/2. Pour deux lancers consécutifs, elle est de (1/2)² = 1/4. Pour 10 lancers consécutifs, elle est de (1/2)¹⁰ = 1/1 024. Pour égaler la probabilité d’obtenir le rang 1 du Loto (1/19 068 840), il faut obtenir pile exactement 24 fois d’affilée ((1/2)²⁴ = 1 / 16 777 216, et 25 lancers consécutifs pour 1 / 33 554 432).

Dans le monde entier, les études sociologiques sur les comportements des parieurs montrent une surreprésentation massive des numéros compris entre 1 et 31 (jours du mois) et entre 1 et 12 (mois de l’année). Les numéros supérieurs à 31 (32 à 49 au Loto, 32 à 50 à l’EuroMillions) sont nettement moins souvent sélectionnés sur les bulletins manuscrits.

En psychologie cognitive, l’apophénie désigne la tendance spontanée à percevoir des connexions logiques ou des significations dans des données purement fortuites. Appliquée aux jeux de tirage, elle pousse les joueurs à identifier de fausses "séries chaudes", des numéros "amis" qui sortiraient toujours ensemble, ou des cycles temporels imaginaires.

Dans la Rome antique, lors des fêtes des Saturnales, les patriciens offraient à leurs invités des billets donnant droit à des lots surprises (les apophoreta). L’empereur Auguste perfectionna le système en vendant des billets de loterie pour financer les travaux publics de reconstruction de Rome. Sous Néron, des tirages quotidiens distribuaient jusqu’à mille oiseaux rares par jour, des esclaves, des chevaux ou des maisons entières.

Découvert par le statisticien Edward Simpson en 1951, ce paradoxe montre qu’une corrélation apparente observée dans plusieurs sous-ensembles de données peut s’inverser complètement lorsque ces sous-ensembles sont combinés. Dans l’analyse des jeux de tirage, des commentateurs peu scrupuleux isolent parfois artificiellement les tirages du mercredi et ceux du samedi pour affirmer qu’un numéro sort plus souvent les jours impairs. En regroupant l’intégralité de l’échantillon, cette fausse anomalie disparaît immédiatement, révélant une répartition parfaitement homogène.

Les sphères de tirage officielles utilisées par la FDJ sont des instruments de très haute précision conçus par la manufacture française Ryo-Catteau. Chaque boule en élastomère plein est pesée au milligramme près et conservée dans des coffres scellés à température constante. Pourtant, dès que les pales de brassage se mettent en mouvement, le système bascule dans le chaos déterministe (sensibilité extrême aux conditions initiales, théorisée par Henri Poincaré et Edward Lorenz). La moindre collision microscopique engendre une divergence exponentielle des trajectoires.

À sa création, EuroMillions ne comportait pas de plafond fixe. En 2009, les opérateurs européens ont instauré un plafond à 190 millions d’euros, atteint pour la première fois en 2012 au Royaume-Uni. En février 2020, une nouvelle règle de plafond glissant a été mise en place : chaque fois que le montant plafond est remporté ou partagé, il augmente de 10 millions d’euros pour le cycle suivant, jusqu’à atteindre le sommet absolu fixé à 250 millions d’euros.